第四章 农业劳动力转移特征和经济学研究对象
4.10 农业劳动力转移经济学问题的数学表述
当然，中国1960年前后出现的农劳比下降速度和加速度的剧烈波动和与此相联系的社会灾难，是中国以至全世界农业劳动力转移过程中的一个极端例子。它不应当被普遍化。不过，即使如此，它也清楚地告诉我们，农业劳动力转移速度不是越高越好。转移速度必须恰当，或者用经济学的语言，必须均衡。这个极端例子同时提示我们，农业劳动力转移研究既不是一种历史学研究，也不是一种象牙塔内的纯学术研究：它是一种与千百万正处于农业劳动力转移过程中的人类的福祉密切关联的研究。
不过，本书主要从学术方面探讨农业劳动力转移。回到图4.14。我们已经指出该图用农劳比下降标识的农业劳动力转移现象和满载乘客的飞机降落现象的相似性。这两种现象对人类提出的问题也是相似的：飞机如何从现有高度平稳快速地降落，农劳比如何从现有水平平稳快速地降低，显然，这些问题都具有动态最优化性质，因此需要利用数学上的动态最优化分析。以图4.14为参照系，该图纵轴是农劳比高度l、横轴是农劳比下降所经过的时间t，因此，图中任何一条农劳比变化曲线或线段都可以用函数
(4.1) l=l(t)
表示。使用转移纪年法并将农业劳动力转移开始的年份设为0，则t 属于[0, N]属于t。如果我们仅仅关注2015年以后的非农化过程，则可以设2015年为0年。l(t)表示农劳比下降的时间路径，因此可称为农劳比变化或下降的时间函数或农业劳动力转移的时间函数。根据数学知识，假设l(t)满足连续和多次可微等数学条件，一条农劳比曲线上的任何一段趋向于无穷短的线段或弧便可以用三个量t, l(t)和l’(t)确定，因此，这样一段弧的值可用F表示如下
(4.2) F=F[t, l(t), l’(t)]
将该条农劳比下降曲线上的所有这些弧加总，我们得到该曲线的泛函和V如下
(4.3) V=∫F[t,l(t),l‘(t)]dt 积分区间两端点为0和N
V又称为该条农劳比下降曲线的时间路径的值。对图4.14显示的世界、中国和美国的三条历史曲线来说，每条曲线的V值是唯一的。但对农劳比在2015年以后可能出现的变化而言，我们有无数条实现农业劳动力转移的时间路径即无数个V。根据图4.14，我们需要做的是找出一条时间路径最短即V值最小的农劳比曲线，因此，对未来农业劳动力转移研究的经济学问题转变成如下的数学问题：
(4.4) min V=∫F[t,l(t),l‘(t)]dt 积分区间两端点为0和N
满足 l(0)=z1 和l(N)=z2，N未定。
其中z1>0、z2≥0是给定值。如果问题(4.4)可解，minV=V*, V*将是农劳比下降的最短途径或者数学分析意义上的最优途径。以全世界为例，设2015年为0年，z1=l世界(0)=27%、z2=l世界(N)=0%，V世界*将是人类从2015年开始的非农化过程的最短路径。如果考虑中国的情形并令l中国(0)=28%，l中国(N)=0%，V中国*将是中国从2015年起的最短非农化路径。如果给问题(4.4)加上一个适当的横截条件，我们将能够求出N，从而了解在最短路径上非农化完成的未来时点或完成非农化继续需要的时间长度。同时，从(4.4)出发，我们还能够了解在2015年以后的非农化转型的各个时点上，农劳比下降的全局最优速度和加速度。虽然，V*仅仅是数学意义上的最优化，和我们在上一节提及的以人类的合目的性为基础的农劳比降速或非农化最优化不是一回事。然而，一旦人类了解了非农化在数学上最短或最优路径，人类就可以观察非农化的实际过程和对此种最优途径的偏离，并按照人类的愿望加以干预。实际上，我们完全可以在问题(4.4)中加入若干控制变量，以便对人类有意识地干预非农化过程的决策提供一定理论依据。[1]
值得注意的是，问题(4.4)中的l’(t)即图4.14中曲线的斜率。在数学上，农劳比曲线斜率等同于农劳比下降的瞬时速度，两者又都等同于农劳比曲线函数的一阶导数l’(t)。农劳比下降的加速度则等同于农劳比曲线函数的二阶导数l’’(t)。l’’(t)虽然没有直接出现在问题(4.4)中，但在大部分情形下，求解(4.4)离不开关于l’’(t)的知识。所以，求解问题(4.4)和我们在上一节提出的农劳比降速和加速度问题是一致的。这样，我们能够把农业劳动力转移的经济学问题统一为确定农劳比曲线l(t) 和其一阶导数l’(t)、二阶导数 l’’(t)的数学问题。这是因为从数学上理解图4.14曲线的前提是对l(t)、l’(t)和l’’(t)的了解，求解问题 (4.4)的前提也是对l(t)、l’(t)和l’’(t)的了解，而了解l(t)、l’(t)和l’’(t)的前提之一是确定l(t)的显性形式。可确定l(t)的显性形式正是经济学的任务所在。经济学是一门经验科学。非农化的路径和最优问题在形式上也许数学的，但在内容上必定是经济学的，也就是说，l(t)的具体形式必须通过经济学来确定。
因此，本书将从经济学角度考虑农业劳动力转移问题并确定l(t)的经济学内容。所以，本书着重在直观上揭示和解释农业劳动力转移的一般经济学条件。为此，本书的研究将以经济学中的比较静态分析方法为主，叙述亦将以图形方式为主。比较静态分析方法和图形方式意味着本书不可能在数学上严格证明农业劳动力转移均衡。不过，在另一方面，我们的方法既可能建立严格研究农业劳动力转移的基本思维框架，又可能揭示被以数理模型为主的研究所抽象的或跳过的问题，[2] 并且还可能为更抽象更技术性的研究提供直观的经济学基础和经济政策指引。[3]
注释：
[1] 比较简明的关于经济学动态分析和最优控制的介绍，参见肖恩，1997/2003，动态经济学，第6章: “控制理论与混沌理论”。该书中译本虽可阅读，但错误较多。英文原著参见Shone, 2002，Chapter 6: “Optimal Control Theory”.
[2] 当代经济学中有一个以“经济结构变化”为主题的研究分支。该分支在高度抽象的水平上研究农业、制造业和服务业三者此消彼长的动态变化关系。有关介绍可见例如陈体标，2012。
[3] 假设把图4.14中中国曲线在2015年的点标为A，则从A到l(t)=0的最短路径是从A到横轴线段越垂直越短。但这个在1960年前后的超快转移的教训告诉我们，越垂直的路径也许越不可行。因此，在求解(4.4)之前，我们需要理解决定农劳比降速的经济学因素，了解农劳比降速的均衡，而这些都是经济学问题。